Nilai Mutlak (absolute value)

Konsep limit sangat berguna dalam matematika, khususnya dalam kalkulus. Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah nilai mutlak sebagai jarak. Untuk |x| artinya jarak antara x dengan titik asal. Demikian juga untuk |x�a| adalah jarak antara x dengan a. Secara umum Nilai Mutlak didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Nilai Mutlak dari bilangan real a, dinotasikan dengan |a| dan didefinisikan sebagai berikut

|a| :=

Agar lebih dimengerti, simak contoh berikut :

1. |5| = 5
   
2. |0| = 0
   
3. |-8| = 8
   

Dari Definisi diatas, dapat disimpulkan bahwa |a| 0 untuk semua a , dan |a| = 0 jika dan hanya jika a = 0. Juga |-a| = |a| untuk setiap a .

Teorema :

(a) |ab| = |a||b| untuk setiap a, b

(b) |a|² = a² untuk setiap a, b

(c) jika c 0 maka |a| c jika dan hanya jika �c a c

(d) -|a| a |a| untuk setiap a, b

Bukti :

(a) Untuk membuktikan bagian (a) ini kita gunakan lima kasus, yaitu

untuk a atau b = 0, jelas berlaku kedua sisi sama dengan 0

untuk a > 0, b > 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = ab = |a||b|

untuk a > 0, b < 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = = -ab = a(-b) = |a||b|

untuk a < 0, b > 0, maka ab < 0, sehingga berlaku |ab| = -ab = (-a)b |a||b|

untuk a < 0, b < 0, maka ab > 0, sehingga berlaku |ab| = |(-a)(-b)| = (-a)(-b) = ab = |a||b|

(b) karena a² 0 maka berlaku a² = |a²| = |aa| = |a||a| = |a|²

(c) jika |a| c maka berdasarkan definisi Nilai Mutlak berlaku a c dan -a c, ini ekuivalen dengan �a c a. Kemudian jika �a c a maka berlaku a c dan -a c sehingga |a| c.

(d) dengan memperhatikan pembuktian pada bagian (c). Ambil c = |a| sehingga |a| |a| dan berlaku a |a| dan -a |a|, hal ini ekivalen dengan �a |a| a

Ketaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)

Jika a, b maka |a + b| |a| + |b|

Bukti :

Dari Teorema (d) kita punya -|a| a |a| dan -|b| b |b|. Jumlahkan kedua ketaksamaan tersebut sehingga diperoleh �(|a| + |b|) a + b |a| + |b|. Berdasarkan Teorema (c) diperoleh |a + b| |a| + |b|

Akibat (Corollary)

Jika a, b maka

(a) ||a| � |b|| |a � b|

(b) |a � b| |a| + |b|

Bukti :

(a) ambil a = a � b + b, maka berdasarkan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |a| = |(a � b) + b| |a � b| + |b|. Kemudian kurangkan kedua ruas dengan |b| sehingga diperoleh |a| � |b| |a � b|.Sekarang pandang b = b � a + a, dengan Ketaksamaan Segitiga diperoleh |b| = |b � a + a| |b � a| + |a|. Kemudian kurangkan dengan |a| sehingga diperoleh |b| � |a| |b � a|. Kalikan kedua ruas dengan (-1) sehingga menjadi �(|b| � |a|) -|b � a|. Ketaksamaan tersebut ekivalen dengan -|a � b| |a| � |b|. Dari dua ketaksamaan tersebut, berdasarkan Teorema (c) dapat disimpulkan ||a| � |b|| |a � b|.

(b) Dengan memandang Ketaksamaan Segitiga dan mensubstitusi �b, maka diperoleh |a + (-b)| |a| + |-b|. Karena |-b| = |b|, maka berakibat |a � b| |a| + |b|

Kemudian jika �a c a maka berlaku a c dan -a c sehingga |a| c

Share Share Tweet Share Share Share

KLIK

DONASI VIA PAYPAL Bantu berikan donasi jika artikelnya dirasa bermanfaat. Donasi Anda membantu Admin untuk lebih giat lagi dalam membagikan template blog yang berkualitas. Terima kasih.